Wiskunde II

Examenvragen

29 augustus 2025

Examen:

1. (1,0,2)^T (a^2+a, a, a^3)^T (-a,0,5)^T
   1. Voor welke a is het parallellopipidum in R^3
   2. a>0 voor welke a is het volume van het parallellopipidum gelijk aan 7
   3. Geef de parametervergelijking van de rechte door ( P,1,1)^T en loddrecht op 2022x+2y+2z=5. Voor welke p gaat dit door de oorsprong
   4. L1: [(x+2y+z=4)(3x-y+z=3)] L2:[(5x-y=4)(-x-y-z=3)]. Geef hiervan de parametervergelijking
   5. a is een reeel getal. Geef de cartesische vergelijking van L door (a,0,a)^T dat loodrecht staat op V
2. 2pi periodieke functie op [-pi,pi] f(x)= |x|-pi
   1. 1. Maak een schets op [-3pi , 3pi]
      2. Bereken de fouriercosinus en laat geen bekende hoeken staan
   2. F = (y^3 e^xy, e^xy y(2+xy)
      1. C is een kromme in het vlak en is de lijn dat P1(0,1) en p2(1,1) verbindt. Bepaal de parameterisatie van C en bereken Int(C) F * t ds, dat P1 en P2 doorloopt
      2. Controlleer of dit een gradientveld is en bepaal de potentiaal
      3. Bepaal nu Int(C) F * t ds voor een willekeurige C waarbij er van P1 naar P2 gegaan wordt.
3. F = (x,y,z). V is het volume dat volledig omsloten is door de oppervlakte z = sqrt(4 - x^2 - y^2) en het vlak z = sqrt(3)
   1. Bereken het volume aan de hand van een drievoudige integraal
   2. S is de rand van V met n naar buiten. S bestaat uit S1 (z = sqrt(3)) en S2 (z = sqrt(4 - x^2 - y^2)). We weten dat Int(S) F * n dS = _sqrt(7)pi. Bepaal de parameterisatie voor S2 en bereken zo Int(S2) F * n dS. Bepaal daarna Int(S) F * n dS
   3. Is dit ook mogelijk met de stelling van Gauss? Zo ja, herschrijf Int(S) F * n dS en bereken de lijnintegraal

1. Oplossingen examen via ANS: (Je mag je examen gaan inkijken en 'notities' nemen)

- 1a

   a = 0 of a=-5/2
   

- 1b

   a=1 of a=-7/2 (gaat niet)
   

- 1c

   -normaal van het vlak is de richtingsvector van de rechte
   -parametertvgl : (x y z) = (p 1 1) + t (2022 2 2) , t € R (Dit MOET er staan voor alle punten te krijgen)
   -(x y z) = (0 0 0) bij oorsprong
   -p=1011
   

- 1d

   r1 = (1 2 1) x (3 -1 1) = (3 2 -7)
   r2 = (5 -1 0) x (-1 -1 -1) = (1 5 -6)
   
   Kies steunvector, bijvoorbeeld: (1 1 1) ⇒ 1+2*1+1 = 4 en 3*1-1+1 =3
   
   parameterverelijking:  (x y z) = (1 1 1) +t (3 2 -7) +s (1 5 -6)  t,s€R
   

- 1e

   (3 2 -7) x (1 5 -6) = (23 11 13)
   
   (x y z) = (a 0 a) + t(23 11 13) t€R
   
   naar cartesische vergeljking omzetten : y=11t dus t= y/11
   
   x-23/11y =a en z- 13/11y=a
   

- 2a

   assen benoemen, en tekenen over heel interval

- 2b

   f(x) is even dus bn=0
   a0 = - pi
   an = 2/pi int(0,pi) f(x) cos(nx) dx
      = 2/pi int(0,pi) (x-pi)cos(nx) dx , los op met partiële integratie ⇒ = 2/(pi n^2)  ((-1)^n   -1)
   
   Definitie van fourier opschrtijven : A0/2 + Sommatie an cosnx en dan invullen
   

- 2c

   parameterisatie: bijvoorbeeld: x= t y =1 voor t€ 0,1
    gebruik dit om de integraal om te schrijven naar int (0,1) e^t  dt (gaat via int Pdx + Qdy)
   

- 2d

   delta P / delta Y = deltaQ / delta x= 3y^2 e^xy  + xy^3 e^xy
   V(x,y) = y^2 e^xy +g(y)
   g’(y) = 0 dus g(y) = c
   V(x,y) = y^2 e^xy +c
   

- 2e

   Zeg dat F conservatief is en dus de integraal onafhankelijk is van het pad, dus we mogen 14.5.2 gebruiken. Vectorveld is een gradientveld
   integraal is gelijk aan V(1,1) - V(0,1) = e - 1

- 3a (sqrt = vierkantswortel)

   sqrt(3) ≤ z ≤ sqrt (4-x^2 - y^2)
   omzetten naar cilindercoordinaten:
   0≤ p ≤ 1
   0≤ theta ≤ 2pi
   sqrt(3) ≤ z ≤ sqrt (4-p^2)
   
   stel integraal op : 
   
   int(0,2pi)int(0,1)int(sqrt(3),sqrt (4-p^2))  p dz dp d thetha
   
   V = -3 sqrt(3) pi +16/3 pi
   

- 3b

   Oppervlak S2 =
   z = f(x,y) = sqrt( 4- x^2 - y^2) voor x^2 +y^2 ≤1
   Normaal van S2 wijst naar boven en wordt gegeven door ( - delta F detla x, - delta f delta y, 1) = x/sqrt(4-x^2 -y^2) , y/sqrt(4-x^2 -y^2), 1
   Int int F n dS = int int (x,y,f(x,y)) * x/sqrt(4-x^2 -y^2) , y/sqrt(4-x^2 -y^2), 1 = int int 4/sqrt(4-x^2 -y^2) 
   
   omzetten naar poolcoordinaten:
    = 4 int (0,2pi) int (0,1) 1 / sqrt ( 4 - r^2) r dr d thetha = -8pi(sqrt(3) -2)
   
   flux = -sqrt(3)pi  -8pi(sqrt(3) -2) = -9 sqrt (3) pi + 16 pi
   

- 3c

   V heeft S als rand, F is partieel afleidebaar met continue afgeleiden, eenheidsnormaal of S wijst naar buiten
   
   Schrijf stelling van gauss
   
   Div f =3 
   
   ⇒ int int int 3 dV = 3 * volume = 3 ( -3 sqrt(3) pi +16/3 pi) =  -9 sqrt (3) pi + 16 pi

MatLab

1. y'1 = y2 - y1^3 en y' '2 = y2*y1^2 + 4Y2sin(y1)
   1. Maak een functie stelsel.m waar je dzeze differentiaalvergelijking in oplost. De beginwaarde zijn f(0) = -3 en f(0) = 6 (denk ik)
   2. Maak een functie figuren.m waarin je een grafiek maakt voor y1 en y2. y1 moet een blauwe puntlijn zijn. Y2 moet een rode volle lijn zijn.
   3. Maak 2 grafieken, deze moeten apart staan met de fucntie figure(2), maak hierin een faseportret en trajectorie. De trajectorie moet voor y1 van -3 naar 3 gaan. Voor y2 van 1 naar 6

1. Maak een functie datum.m die op basis van een ingegeven a (#dag), die tussen 1 en 365 ligt, zegt welke nummer maand dit is en de hoeveelste dag van deze maand dit is. Gegeven voorbeeld : [m,d] = datum(222) => m=8 en d=10
   1. Maak een tweede functie gegeven_datum(a) waarin je voor a = 249 (definieer deze variable) met datum.m berekent de hoeveelste dag dit is van welke maand (Dus gewoon vorige oef gebruiken) en dan het volgende als antwoord laat zien : 'Dag 249 is de 10 dag van september'

5 juni 2025

1. 1. Zie L van R^2 L:[(2x+5y-4z=3),(ax+10y-8z=2)]. Bepaal alle waarde van a waarvoor L een rechte is
   2. Stel a=0, en b is een reeël getal. Geef de parametervergelijking van vlak V door punt (b,1,1)^T en loodrecht op L
   3. Voor welke waarde van b ligt het punt (4, -14, 13)^T op V
   4. Voor welke waarde van p is ((p,1,p),(1,p,2),(0,1,-1)) inverteerbaar
   5. Gebruik gauss eliminatie om te onderzoekn of ((2,0.5),(3,1)) inverteerbaar is
   6. Maak een 2x2 matrix A met de eigenwaarden 1 en 0.5 en eigenvectoren (2,3)^T en (0.5,1)^T
2. 1. f is oneven 2pi periodiek op [0,pi], f(x) = [(-x/2 als 0<=x<=pi/5) , (0 als pi/5<x<=pi)]
   2. Bereken de fourierreeks, je moet cos(npi/5) en sin(npi/5) niet uitrekenen
   3. F^(->) = (y^2 e^(xy) + cos(y), (1=xy) e^(xy) -x sin(y). De kromme C verbindt P1 (0,0) en P2 (2,0)
      1. Bepaal de parametirisatie van C en bereken de lijnintegraal: int(c) (F^(->) * t^(->)) ds
      2. F^(->) is een gradiëntveld. Controlleer stelling 13.2.2 en bepaal het potentiaal
      3. Bepaal int(c) (F^(->) * t^(->)) ds voor een willekeurige gladde kromme van P1 naar P2
3. F^(->) = (x,y,-z) V= volume omsolten door kegel z= sqrt(4x^2 + 4y^2) en vlak z=4
   1. Bereken het volume adhv een drievoudige integraal
   2. S is de rand van V. Bepaal de parametirisatie van S en bereken de flux int(int(S)(F^(->) * n^(->))) ds met S naar buiten.
   3. Is er voldaan aan de stelling van Gauss? Indien ja, heschrijf de flux int(int(S)(F^(->) * n^(->))) hiermee en bereken deze.