Computationele Chemie

Een van de weinige vakken binnen de opleiding Chemie dat gedoceerd wordt door een vrouwelijke prof. Het zwaarste vak van de 3^e bachelor in de eerste semester. Naast het mondelinge examen bij prof Pierloot zijn er computerpractica. Hierover moeten verslagen gemaakt worden en op het einde van het semester een computerexamen afgelegd worden.

Examenvragen

25 januari 2018

1. Bespreek de toestandsfunctie horende bij de configuratie phi(a)phi(b) van een twee-elektronsysteem, en toon aan hoe het Pauliprincipe hierbij aanleiding geeft tot de constructie van (combinaties van) Slater determinanten. (phi(a) en phi(b) zijn orbitalen).
2. • Schrijf de HF toestandsfunctie voor een gesloten-schil molecule.
   • Wat versta je onder elektroncorrelatie? Waarom beschrijft de HF toestandsfunctie correlatie niet. Geef de definitie van correlatie-energie.
   • Beschrijf schematisch de vorm van de golffunctie die, binnen de LCAO-MO benadering, wel in staat is om elektroncorrelatie te beschrijven.
3. Leid af hoe de kwantummechanische verwachtingswaarde van een moleculaire dipoolmoment berekend kan worden, vertrekkende van (a) de elektronische toestandsfunctie; (b) de elektronendensiteit.

NM 23 januari 2018

1. • Geef de definitie en twee voorbeelden (met verantwoording) van elk van de volgende begrippen: (1) idempotente operatoren, (2) compatiebele grootheden en (3) hermitische operatoren.
   • Bewijs dat 1/2 (AB+BA) hermitisch is als, A en B zelf hermitisch zijn. Moeten A en B hiervoor commuteren?
2. Vertrek van de exacte oplossing van de Schrödingervgl van het He+ ion om een benaderende oplossing te berekenen voor de grondtoestand van het He atoom. Werk een manier uit om deze benadering te verbeteren door gebruik te maken van het variatietheorema. Kan je op die manier een exacte uitkomst bekomen? Leg uit waarom (niet)/ hoe.
3. • Geef de uitdrukking van de Hartree-Fock orbitaalenergie ε_HF en bespreek de betekenis van de verschillende termen in deze uitdrukking.
   • Komt de som van de HF energieën van alle bezette orbitalen van een molecule overeen met de totale HF energie E_HF? Indien niet, waarin verschillen beide grootheden?
   • Leg uit op welke manier de orbitaalenergie gebruikt kan worden als een benaderende waarde voor de moleculaire ionisatie-energie. Wat houdt deze benadering in en hoe kan de berekening van de ionisatie-potentiaal verder verbeterd worden?

VM 23 januari 2018

1. Toepassing van de LCAO-MO benadering op het H2+ molecule met een minimale basis bestaande uit twee genormaliseerde AO 1sA en 1sB geeft steeds de volgende twee MO's: Phi^b = N(1sA + 1sB) en Phi* = N' (1sA - 1sB). Bereken de normalisatieconstanten N en N'. Bewijs (op basis van de densiteit) dat, bij een voldoende kleine H-H afstand zodat beide atomaire orbitalen overlappen, phi(b) een binden MO en phi* een antibindend MO is.
2. Leg uit waarom de dissociatie van het H2 molecule niet correct beschreven kan worden met een RHF-type golffunctie. Geef aan welke gevolgen dit heeft voor de nauwkeurigheid van de RHF golfvergelijking (?) van covalente bindingen. Beschrijf in detail welke (minimale) voorbetering van de RHF golffunctie van H2 nodig is om een kwalitatief correcte dissociatiecurve te bekomen.
3. Wat is Mulliken populatie-analyse en voor wat dient het? Leid de formules af + wat is het verschil tussen de gross en de netto Mulliken populatie van een atomaire basisfunctie resulterend uit een moleculaire LCAO-MO-SCF berekening (gesloten schil molecule)?

19 januari 2018

1. Voorwaarden van een gerade/ ungerade systeem uitleggen en wanneer het kan voorkomen
2. Vertrek van de exacte oplossing van de Schrödingervgl van het He+ ion om een benaderende oplossing te berekenen voor de grondtoestand van het He atoom. Werk een manier uit om deze benadering te verbeteren door gebruik te maken van het variatietheorema. Kan je op die manier een exacte uitkomst bekomen? Leg uit waarom (niet)/ hoe.
3. • Hoe bereken je de electrondensiteit vertrekkende van de (exacte) elektronische toestandsfunctie van ene molecule? hoe hierbij ook rekening met de spin van de elektronen.
   • Hoe kan je bovenstaande uitdrukking herschrijven voor de Hartree-Fock golffunctie van een gesloten-schil molecule?
   • Hoe bereken je de moleculaire elektrostatische potentiaal MEP van een molecule uitgaande van de densiteit?

26 januari 2017 (NM)

1. • Geef de definitie en twee voorbeelden (met verantwoording) van elk van de volgende begrippen: (1) idempotente operatoren, (2) compatiebele grootheden en (3) hermitische operatoren.
   • Bewijs dat 1/2 (AB+BA) hermitisch is als, A en B zelf hermitisch zijn. Moeten A en B hiervoor commuteren?
2. • Schrijf de HF toestandsfunctie voor een gesloten-schil molecule.
   • Wat versta je onder elektroncorrelatie? Waarom beschrijft de HF toestandsfunctie correlatie niet. Geef de definitie van correlatie-energie.
   • Beschrijf schematisch de vorm van de golffunctie die, binnen de LCAO-MO benadering, wel in staat is om elektroncorrelatie te beschrijven.
3. De volgende complexe functies stellen twee van de oplossingen voor van de Schrödingervergelijking voor een één-elektron atoom met kernlading Z:functies voor (n=4, l=2 en ml = +/-2)
   • Ψ4,2,±2 (r,θ,φ)=R4,2 Θ2,±2(θ) Φ±2(φ)
   • met ρ=2Zr/na0
   • en: R4,2(r)=(((Z/a0)^(3/2))/96√5)*(6-ρ)ρ²e-ρ/2
   • Θ2,±2(θ)=√15/4 sin²θ
   • Φ±2(φ)=1/√2π e±2iφ
   • Zijn deze twee functies ontaard of niet?
   • Vorm uit deze twee golffuncties via een orthonormale transformatie twee reële functies. Welke kwantumgetallen gaan hierbij verloren? Zijn de nieuwe functie nog steeds eigenfuncties van dezelfde hamiltoniaan (één-elektron atoom met kernlading Z)? Zo ja, hebben ze dezelfde eigenwaarden als de oorspronkelijke functies of niet? Zijn ze ontaard of niet?
   • Hoeveel radiale nodale vlakken hebben de reële functies? Hoeveel angulaire nodale vlakken, en welke vlakken zijn dit?
   • Teken het angulaire deel van de twee reële orbitalen in twee dimensies. Kies hiervoor het vlak in een carthesisch assenstelsel waar de functies waar de functies hun maximale (absolute) waarde bereiken.
   • Teken ook (kwalitatief) de totale (reële) golffuncties in hetzelfde vlak, onder de vorm van hoogtelijnen. Teken twee hoogtelijnen met een verschillende absolute waarde en geef aan welke van de twee lijnen hoort bij de hoogste absolute waarde.

24 januarri 2017

1. Voorwaarden uitleggen voor wanneer een systeem geraden of ungeraden kan zijn.
2. Uitleggen waarom UHF afwijkingen geeft bij de dissociatie van H2 en het covalente karakter van bindingen. Uiteggen hoe dit kan verbeterd worden ( in detail zoals H IV: p28-30)
3. Afleiden van de totale elektronische energie na het in voeren van Kohn & Sham orbitalen in DFT.

20 januari 2017 (NM)

1. • Geef en bewijs het variatietheorema
   • Situeer de orbitaalbenadering binnen dit theorema. Beschrijf hoe met deze methode benaderende oplossingen van de Schrödingervergelijking bekomen kunnen worden.
   • Situeer de LCAO-MO methode binnen dit theorema. Beschrijf hoe met deze methode beanderende oplossingen voor orbitalen bekomen kunnen worden.
2. Bespreek de toestandsfunctie horende bij de configuratie phi(a)phi(b) van een twee-elektronsysteem, en toon aan hoe het Pauliprincipe hierbij aanleiding geeft tot de constructie van (combinaties van) Slater determinanten. (phi(a) en phi(b) zijn orbitalen).
3. Leid af hoe de kwantummechanische verwachtingswaarde van een moleculaire dipoolmoment berekend kan worden, vertrekkende van (a) de elektronische toestandsfunctie; (b) de elektronendensiteit.

22 januari 2016 (VM)

1. • Geef de definitie en twee voorbeelden (met verantwoording) van elk van de volgende begrippen: (1) idempotente operatoren, (2) compatiebele grootheden, (3) hermitische operatoren.
   • Bewijs dat 1/2(AB+BA) hermitisch is als A en B zelf hermitisch zijn. Moeten A en B hiervoor commuteren?
2. Toepassing van de LCAO-MO benadering op het H2+ molecule met een minimale basis bestaande uit twee genormaliseerde AO 1sA en 1sB geeft steeds de volgende twee MO's: phi•b = N(1sA + 1sB) en phi•* = N' (1sA - 1sB).
   • Bereken de normalisatieconstanten N en N'.
   • Bewijs (op basis van de densiteit) dat, bij een voldoende kleine H-H afstand zodat beide atomaire orbitalen overlappen, phi(b) een binden MO en phi* een antibindend MO is.
3. • Hoe bereken je de elektronendensiteit vertrekkende van de elektronische toestandfunctie van een molecule? Hou hierbij ook rekening met de spin van de elektronen.
   • Hoe bereken je de moleculaire elektrostatische potentiaal MEP van ee nmolecule uitgaande van de densiteit?
   • Leg uit hoe je een MSEP (molecular surface electrostatic potential) zou berekenen.

19 januari 2016 (VM)

1. • Wat zijn compatiebele grootheden? Wat zijn de voorwaarden?
   • Geef een voorbeeld van (i) twee compatiebele grootheden, (ii) twee niet-compatiebele grootheden. Bewijs dit met de voorwaarden die je in a) gesteld hebt.
2. Leg uit waarom de dissociatie van het H2 molecule niet correct beschreven kan worden met een RHF type golffunctie. Leg uit hoe je dit kan verbeteren (in detail).
3. Leid af hoe de kwantummechanische verwachtingswaarde van een moleculair dipoolmoment berekend kan worden met
   • elektronische toestandsfunctie
   • elektrondensiteit

15 januari 2016 (VM)

1. • Geef en bewijs het variatietheorema.
   • Situeer de orbitaalbenadering binnen dit theorema. Beschrijf hoe met deze methode benaderende oplossingen van de Schrödingervergelijking bekomen kunnen worden.
   • Situeer de LCAO-MO methode binnen dit theorema. Beschrijf hoe met deze methode benaderende oplossingen voor orbitalen bekomen kunnen worden.
2. Bespreek de toestandsfunctie horenden bij de aangeslagen configuratie van een twee-elektronensysteem en toon aan hoe het Pauliprincipe hierbij aanleiding geeft tot de constructie van (combinaties van) de Slater determinanten.
3. De volgende complexe functies stellen twee van de oplossingen voor van de Schrödingernvergelijking voor een één-elektron atoom met kernlading Z:
   • Ψ4,2,±2 (r,θ,φ)=R4,2 Θ2,±2(θ) Φ±2(φ)
   • met ρ=2Zr/na0
   • en: R4,2(r)=(((Z/a0)^(3/2))/96√5)*(6-ρ)ρ²e-ρ/2
   • Θ2,±2(θ)=√15/4 sin²θ
   • Φ±2(φ)=1/√2π e±2iφ
   • Zijn deze twee functies ontaard of niet?
   • Vorm uit deze twee golffuncties via een orthonormale transformatie twee reële functies. Welke kwantumgetallen gaan hierbij verloren? Zijn de nieuwe functie nog steeds eigenfuncties van dezelfde hamiltoniaan (één-elektron atoom met kernlading Z)? Zo ja, hebben ze dezelfde eigenwaarden als de oorspronkelijke functies of niet? Zijn ze ontaard of niet?
   • Hoeveel radiale nodale vlakken hebben de reële functies? Hoeveel angulaire nodale vlakken, en welke vlakken zijn dit?
   • Teken het angulaire deel van de twee reële orbitalen in twee dimensies. Kies hiervoor het vlak in een carthesisch assenstelsel waar de functies waar de functies hun maximale (absolute) waarde bereiken.
   • Teken ook (kwalitatief) de totale (reële) golffuncties in hetzelfde vlak, onder de vorm van hoogtelijnen. Teken twee hoogtelijnen met een verschillende absolute waarde en geef aan welke van de twee lijnen hoort bij de hoogste absolute waarde.

23 januari 2015

1. Schrijf de hamiltoniaan voor het waterstofatoom. Beschrijf schematisch de eigenfuncties en bijbehorende eigenwaarden. Plaats nu het atoom in een magneetveld. Beschrijf hoe de eigenfuncties en eigenwaarden veranderen.
2. Toepassing van de LCAO-MO benadering op het H2+ molecule met een minimale basis bestaande uit twee genormaliseerde AO 1sA en 1sB geeft steeds de volgende twee MO's: phi•b = N(1sA + 1sB) en phi•* = N' (1sA - 1sB). Bereken de normalisatieconstanten N en N'. Bewijs (op basis van de densiteit) dat, bij een voldoende kleine H-H afstand zodat beide atomaire orbitalen overlappen, phi(b) een binden MO en phi* een antibindend MO is.
3. Bespreek het principe van een geometrie-optimalisatie van een molecule. Maak hierbij gebruik van de begrippen potentiaaloppervlak, stationair punt, gradient en hessiaan. Wat versta je onder een frequentie-analyse, en wat is het verband tussen de frequenties en de hessiaan? Leg uit waarom geometrie-optimalisatie best steeds gevolgd wordt door een frequentie-analyse. Op welke manier kan de symmetrie van het molecule hierbij een rol spelen?

22 januari 2015

1. Bespreek Rayleigh-Schrödinger perturbatietheorie voor niet-ontaarde systemen en situeer de MP2-methode binnen deze theorie.
2. De volgende complexe functies stellen twee van de oplossingen voor van de Schrödingernvergelijking voor een één-elektron atoom met kernlading Z:
   • Ψ4,2,±2 (r,θ,φ)=R4,2 Θ2,±2(θ) Φ±2(φ)
   • met ρ=2Zr/na0
   • en: R4,2(r)=(((Z/a0)^(3/2))/96√5)*(6-ρ)ρ²e-ρ/2
   • Θ2,±2(θ)=√15/4 sin²θ
   • Φ±2(φ)=1/√2π e±2iφ
   • Zijn deze twee functies ontaard of niet?
   • Vorm uit deze twee golffuncties via een orthonormale transformatie twee reële functies. Welke kwantumgetallen gaan hierbij verloren? Zijn de nieuwe functie nog steeds eigenfuncties van dezelfde hamiltoniaan (één-elektron atoom met kernlading Z)? Zo ja, hebben ze dezelfde eigenwaarden als de oorspronkelijke functies of niet? Zijn ze ontaard of niet?
   • Hoeveel radiale nodale vlakken hebben de reële functies? Hoeveel angulaire nodale vlakken, en welke vlakken zijn dit?
   • Teken het angulaire deel van de twee reële orbitalen in twee dimensies. Kies hiervoor het vlak in een carthesisch assenstelsel waar de functies waar de functies hun maximale (absolute) waarde bereiken.
   • Teken ook (kwalitatief) de totale (reële) golffuncties in hetzelfde vlak, onder de vorm van hoogtelijnen. Teken twee hoogtelijnen met een verschillende absolute waarde en geef aan welke van de twee lijnen hoort bij de hoogste absolute waarde.
3. Op basis van welk principe en onder welke omstandigheden kunnen de toestandsfuncties van een systeem geclassificeerd worden als gerade of ungerade?

20 januari 2015 VM

1. Geef en bewijs het variatie theorema. Toon aan dat dit blijft gelden in de densiteitfunctionaal theorie
2. Constructie van Slater determinanten vanuit het Pauli principe
3. Duid in onderstaande tabel aan met een kruisje of de volgende waterstoforbitalen eigenfuncties zijn van de hamiltoniaan (H), en/of de orbitaaldraaiimpulsoperatoren (l², lx, ly, lz). Hierbij moeten geen ingewikkelde afleidingen gegeven worden, maar je moet keuze wel kunnen uitleggen. (rood = oplossing)

16 januari 2015

1. Schrijf de hamiltoniaan voor het waterstofatoom. Beschrijf schematisch de eigenfuncties en bijbehorende eigenwaarden. Plaats nu het atoom in een magneetveld. Beschrijf hoe de eigenfuncties en eigenwaarden veranderen.
2. Geef grondig het Pauliprincipe en toon aan dat de golffunctie van het He atoom geschreven moet worden als een determinant, en geef deze determinant.
3. • Wat versta je onder elektroncorrelatie
   • Geef de de definitie van correlatie energie
   • Beschrijf schematisch de vorm van de golffunctie die, binnen de LCAO-MO benadering, in staat is de elektron correlatie te beschrijven.
   • Noem 2 mogelijke methoden die gebruikt kunnen worden om deze golffunctie te berekenen. Geef de essentiële verschillen tussen beide methoden.

18 augustus 2014

1. Bewijs dat Pz een lineaire en hermitische operator is.
2. Geef grondig het Pauliprincipe en voor een He atoom gebruik makend van de orbitaalbenadering dat de golffunctie geschreven kan worden in een determinant, en geef deze determinant.
3. Leg uit Rayleigh perturbatie theorie en situeer MP2 hierin.

24 januari 2014

1. Definieer
   • orbitaal en orbitaalbenadering
   • configuratie: open- en gesloten-schil-configuratie
   • slaterdeterminanten
   • toestand en toestandsfunctie; maak gebruik van een voorbeeld en leg het verband/preciseer het verschil tussen de verschillende begrippen
2. Wat is het verschil tussen de gross en de netto Mulliken populatie van een atomaire basisfunctie resulterend uit een moleculaire LCAO-MO-SCF berekening? (leid de formules af)
3. Bereken a) de meest waarschijnlijke kern-elektronafstand; b) de gemiddelde kern-elektronafstand, in de grondtoestand van het waterstof atoom met als toestandsfunctie (dan die functie uit de cursus)

23 januari 2014

1. geef de definitie en twee voorbeelden (met verantwoording) van elk van de volgende begrippen:
   • Idempotente operatoren
   • Compatibele grootheden
   • Hermitische operatoren
2. Geef en bespreek het Pauli principe (algemeen) en toon aan dat omwille van dit principe de maximale bezetting ven de ruimtelijke orbitalen 2 is, en die van de spin orbitalen 1.
3. • Wat versta je onder elektroncorrelatie
   • Geef de de definitie van correlatie energie
   • Beschrijf schematisch de vorm van de golffunctie die, binnen de LCAO-MO benadering, in staat is de elektron correlatie te beschrijven (uit hoofdstuk 4 naar 't schijnt!)
   • Noem 2 mogelijke methoden die gebruikt kunnen worden om deze golffunctie te berekenen. Geef de essentiële verschillen tussen beide methoden.

21 januari 2014

1. Bewijs compatiebele grootheden.
2. Leg uit waarom de dissociatie van het H2 molecule niet correct beschreven kan worden met een RHF type golffunctie.
   • Geef de 2 wijzen waarop de bindingsenergie van H2 theoretisch berekend kan worden en leg uit waarom, op Hartree-Fock niveau, de ene wijze steeds een te hoge, en de andere wijze steeds een te lage bindingsenergie oplevert.
   • Hoe kan de beschrijving van de golffunctie van H2, en dus ook van de bindingsenergie, verbeterd worden.
3. Bespreek het principe van een geometrie-optimalisatie van een molecule.
   • Maak hierbij gebruik van de begrippen potentiaaloppervlak, stationair punt, gradient en hessiaan. Wat versta je onder een frequentie-analyse.
   • Wat is het verband tussen de frequenties en de hessiaan?
   • Leg uit waarom geometrie-optimalisatie best steeds gevolgd wordt door een frequentie-analyse. Op welke manier kan de symmetrie van het molecule hierbij een rol spelen?

17 januari 2014

1. Geef en bewijs het variatie theorema. Toon aan dat dit blijft gelden in de densiteitfunctionaal theorie
2. Constructie van Slater determinanten vanuit het Pauli principe:
3. Bespreek de mogelijke golffuncties en dat die aanleiding geven tot de constructie van een Slater determinant/ combinatie van Slater determinanten
4. Duid in onderstaande tabel aan met een kruisje of de volgende waterstoforbitalen eigenfuncties zijn van de hamiltoniaan (H), en/of de orbitaaldraaiimpulsoperatoren (l², lx, ly, lz). Hierbij moeten geen ingewikkelde afleidingen gegeven worden, maar je moet keuze wel kunnen uitleggen. (rood = oplossing) (zie 24 januari 2012)

25 januari 2013

1. Geef en bespreek het Pauli-principe. Welke benaderende golffunctie zal men gebruiken om te voldoen aan dit principe?
2. Definitie van elektroncorrelatie. Wat is de correlatie-energie? Beschrijf schematisch de vorm van de golffunctie die, binnen de LCAO-MO benadering, in staat is om elektronencorrelatie te beschrijven. Noem twee mogelijke methoden die gebruikt kunnen worden om deze golffunctie te berekenen. Geef de essentiële verschillen tussen de beide methoden.
3. Toepassing van de LCAO-MO benadering op het H2+ molecule met een minimale basis bestaande uit twee genormaliseerde AO 1sA en 1sB geeft steeds de volgende twee MO's: phi•b = N(1sA + 1sB) en phi•* = N' (1sA - 1sB). Bereken de normalisatieconstanten N en N'. Bewijs (op basis van de densiteit) dat, bij een voldoende kleine H-H afstand zodat beide atomaire orbitalen overlappen, phi(b) een binden MO en phi* een antibindend MO is.

22 januari 2013

1. Leid de uitdrukking af van de totale (elektronische) grondtoestandsenergie die bekomen wordt binnen DFT na de introductie van orbitalen zoals gesugereerd door Kohn & Sham
2. Geef de definitie van "size consistency". Waarom is de CISD-methode niet size-consistent?
3. • Wat zijn compatiebele grootheden?
   • Toon aan dat twee meetbare grootheden compatiebel zijn als de corresponderende kwantummechanische operatoren commuteren.
   • Geef een voorbeeld van (i) twee compatiebele grootheden, (ii) twee niet-compatiebele grootheden. Bewijs (i) en (ii) door de commutatierelatie tussen de bijhorende operatoren uit te werken.

Augustus 2012

1. Geef de definitie van een lineaire hermitische operator A en bewijs dat:
   • eigenwaarden van A altijd reël zijn
   • de eigenfuncties van A steeds orthonormaal gekozen kunnen worden.
2. Bespreek Rayleigh-Schrödinger perturbatietheorie voor niet-ontaarde systemen en situeer de MP2-methode binnen deze theorie.
3. Leg uit waarom de dissociatie van H2 molecule niet correct beschreven kan worden met een RHF-type golffunctie. Geef de twee wijzen waarop de bindingsenergie van H2 theoretisch berekend kan worden en leg uit waarom, op Hartree-Fock niveau, de ene wijze een steeds te hoge en de andere steeds een te lage bindingsenergie oplevert? Hoe kan de beschrijving van de golffunctie van H2, en dus ook van bindingsenergie, verbeterd worden?

28 januari 2011 NM

1. • Definitie van elektroncorrelatie
   • Wat is de correlatie-energie
   • Beschrijf schematisch de vorm van de golffunctie die, binnen de LCAO-MO benadering, in staat is om elektronencorrelatie te beschrijven
   • Noem twee mogelijke methoden die gebruikt kunnen worden om deze golffunctie te berekenen. Geef de essentiële verschillen tussen de beide methoden
2. Toepassing van de LCAO-MO benadering op het H2+ molecule met een minimale basis bestaande uit twee genormaliseerde AO 1sA en 1sB geeft steeds de volgende twee MO's: phi•b = N(1sA + 1sB) en phi•* = N' (1sA - 1sB).
   • Bereken de normalisatieconstanten N en N'
   • Bewijs (op basis van de densiteit) dat, bij een voldoende kleine H-H afstand zodat beide atomaire orbitalen overlappen, phi(b) een binden MO en phi* een antibindend MO is.
3. Bewijs compatiebele grootheden.

24 januari 2012 VM

1. • Geef en bespreek het Pauli-principe
   • Welke benaderende golffunctie zal men gebruiken om te voldoen aan dit principe?
2. Leid de uitdrukking af voor de totale (elektronische) grondtoestandsenergie binnen DFT, na de introductie van orbitalen zoals gesuggereerd door Kohn & Sham.
3. Duid in onderstaande tabel aan met een kruisje of de volgende waterstoforbitalen eigenfuncties zijn van de hamiltoniaan (H), en/of de orbitaaldraaiimpulsoperatoren (l², lx, ly, lz). Hierbij moeten geen ingewikkelde afleidingen gegeven worden, maar je moet keuze wel kunnen uitleggen. (rood = oplossing)

22 januari 2012

1. Op basis van welk principe en onder welke omstandigheden kunnen de toestandsfunctie van een systeem geclassificeerd worden als gerade of ungerade?
2. Wat is het verschil tussen de gross en de netto Mulliken populatie van een atomaire basisfunctie resulterend uit een moleculaire LCAO-MO-SCF berekening? (leid de formules af)
3. De volgende complexe functies stellen twee van de oplossingen voor van de Schrödingernvergelijking voor een éé-elektron atoom met kernlading Z:
   • Ψ4,2,±2 (r,θ,φ)=R4,2 Θ2,±2(θ) Φ±2(φ)
   • met ρ=2Zr/na0
   • en: R4,2(r)=(((Z/a0)^(3/2))/96√5)*(6-ρ)ρ²e-ρ/2
   • Θ2,±2(θ)=√15/4 sin²θ
   • Φ±2(φ)=1/√2π e±2iφ
   • Zijn deze twee functies ontaard of niet?
   • Vorm uit deze twee golffuncties via een orthonormale transformatie twee reële functies. Welke kwantumgetallen gaan hierbij verloren? Zijn de nieuwe functie nog steeds eigenfuncties van dezelfde hamiltoniaan (één-elektron atoom met kernlading Z)? Zo ja, hebben ze dezelfde eigenwaarden als de oorspronkelijke functies of niet? Zijn ze ontaard of niet?
   • Hoeveel radiale nodale vlakken hebben de reële functies? Hoeveel angulaire nodale vlakken, en welke vlakken zijn dit?
   • Teken het angulaire deel van de twee reële orbitalen in twee dimensies. Kies hiervoor het vlak in een carthesisch assenstelsel waar de functies waar de functies hun maximale (absolute) waarde bereiken.
   • Teken ook (kwalitatief) de totale (reële) golffuncties in hetzelfde vlak, onder de vorm van hoogtelijnen. Teken twee hoogtelijnen met een verschillende absolute waarde en geef aan welke van de twee lijnen hoort bij de hoogste absolute waarde.

24 januari 2011 nm

1. Maak gebruik van de LCAO-MO benadering en het variatietheorema om de golffunctie en bijhorende energie te berekenen van de grondtoestand van het H₂⁺-ion bij een H-H afstand van 2,2 a.u. Basisfuncties zijn de (genormaliseerde) 1sA en 1sB orbitalen op beide H atomen. De waarde van de verschillende integralen tussen beide functies bij de gegeven H-H afstand bedragen: S(AB)= 0,533  ; H(AA)= -0,937 a.u.  ; H(AB)= -0,621 a.u.
2. • Geef en bespreek het Pauli-principe
   • Hoe wordt dit principe gebruikt voor de constructie van een golffunctie binnnen de orbitaalbenadering.
3. Wat is het verschil tussen de gross en de netto Mulliken populatie van een atomaire basisfunctie resulterend uit een moleculaire LCAO-MOSCF berekening (leid de formules af)

24 januari 2011 vm

1. Op basis van welk principe en onder welke omstandigheden kunnen de toestandsfuncties van een systeem geclassificeerd worden als gerade of ungerade?
2. Leidt de uitdrukking af van de totale elektronische grondtoestandsenergie die bekomen wordt binnen DFT na de introductie van orbitalen zoals gesuggereerd door Kohn & Sham.
3. Bereken a) de meest waarschijnlijke kern-elektronafstand; b) de gemiddelde kern-elektronafstand, in de grondtoestand van het waterstof atoom met als toestandsfunctie (dan die functie uit de cursus)

22 januari 2010 nm

1. Niet compatiebele grootheden, bewijzen dat impuls en plaats niet compatiebel zijn, onzekerheidsprincipe Heisenberg geven en bewijzen met gegeven formule (uit cursus)
2. H₂⁺-ion, gegeven dat bindend orbitaal= N(sA+sB) en antibindend= N'(sA-sB). Normalisatiefactoren berekenen en met de waarschijnlijkheidsdichtheid aantonen dat het ene bindend is en het andere antibindend.
3. Vanalles over geometrie-optimalisatie en frequentie-analyse:

22 januari 2010 vm

1. De golffunctie van waterstof gekregen. Bereken hoogst waarschijnlijke waarde van r en de gemiddelde waarde van r
2. • Variatietheorema geven en bewijzen en aantonen hoe dat da in de densiteitsfunctionaaltheorie ook blijft gelden
   • Het eerste Hohenberg-Kohn theorema geven en bewijzen
3. • Definitie van elektroncorrelatie
   • Wat is de correlatie-energie
   • Beschrijf schematisch de vorm van de golffunctie die, binnen de LCAO-MO benadering, in staat is om elektronencorrelatie te beschrijven
   • Noem twee mogelijke methoden die gebruikt kunnen worden om deze golffunctie te berekenen. Geef de essentiële verschillen tussen de beide methoden

18 januari 2010 nm

1. Op basis van welk principe en onder welke omstandigheden kunnen de toestandsfuncties van een systeem geclassificeerd worden als gerade en ungerade
2. Leg uit waarom de dissociatie van het H2 molecule niet correct beschreven kan worden met een RHF type golffunctie. Geef de 2 wijzen waarop de bindingsenergie van H2 theoretisch berekend kan worden en leg uit waarom, op Hartree-Fock niveau de ene wijze steeds een te hoge, en de andere wijze steeds een te lage bindingsenergie oplevert. Hoe kan de beschrijving van de golffunctie van H2, en dus ook van de bindingsenergie, verbeterd worden.
3. Bespreek het Pauli-principe (grondig en algemeen) en gebruik dit principe bij de constructie van de golffunctie voor de grondtoestand van he He atoom(binnen de orbitaalbenadering)

18 januari 2010 vm

1. Bewijs compatiebele grootheden
2. Geef de verschillende aangeslagen toestanden van een twee-elektronsysteem. Geef de slaterdeterminanten rekening houdend met het Pauliprincipe
3. Tekenopdracht van n=4 l=2 en ml=+/-2 (zie oude examenvragen)

augustus 2009

1. Wat zijn incompatiebele grootheden? Toon aan dat positie en snelheid incompatiebel zijn. Geef en bewijs de Heisenberg onzekerheidsrelatie. Maak hierbij gebruik van de volgende vergelijking, geldend voor twee incompatiebele grootheden A en B: deltaA * deltaB >= 1/2 |<psi|[A, B]|psi>|
2. Toepassing van de LCAO-MO benadering op het H2+ molecule met een minimale basis bestaande uit twee genormaliseerde AO 1sA en 1sB geeft steeds de volgende twee MO's: Ï•Sjabloon:Sub = N(1sA + 1sB) en Ï•* = N' (1sA - 1sB).

• Bereken de normalisatieconstanten N en N'
• Bewijs (op basis van de densiteit) dat, bij een voldoende kleine H-H afstand zodat beide atomaire orbitalen overlappen, Ï•Sjabloon:Sub een binden MO en Ï•* een antibindend MO is.

1. Bespreek het principe van een geometrie-optimalisatie van een molecule. Maak hierbij gebruik van de begrippen potentiaaloppervlak, stationair punt, gradient en hessiaan. Wat versta je onder een frequentie-analyse, en wat is het verband tussen de frequenties en de hessiaan? Leg uit waarom geometrie-optimalisatie best steeds gevolgd wordt door een frequentie-analyse. Op welke manier kan de symmetrie van het molecule hierbij een rol spelen?

23 januari 2009

1. Geef de definitie van een lineaire hermitische operator A en bewijs dat:
   • Eigenwaarden van A altijd reel zijn
   • De eigenfuncties van A steeds orthonormaal gekozen kunnen worden.
2. Leg uit waarom de dissociatie van het H2 molecule niet correct beschreven kan worden met een RHF type golffunctie. Geef de twee wijzen waarop de bindingsenergie van H2 theoretisch berekend kan worden en leg uit waarom, op Hartree-Fock niveau, de ene wijze steeds een te hoge en de andere wijze steeds een te lage bindingsenergie oplevert. Hoe kan de beschrijving van de golffunctie van H2, en dus ook van de bindingsenergie, verbeterd worden?
3. • Geef en bewijs het variatietheorema
   • Geef en bewijs het eerste Hohenberg-Kohn theorema

12 januari 2009

1. Bespreek gerade/ungerade , afleiding en zeggen wat essentieel is.
2. 3 begrippen bespreken en met elkaar in verband brengen: orbitaal / open en gesloten schil / toestand en toestandsfunctie
3. Orbitalen tekenen(letterlijk zoals ook op toledo staat)

10 januari 2009

1. Commutatieregels H, L², Lx, Ly, Lz van meer-elektronatomen afleiden en bespreken wat ge daar mee kunt
2. Perturbatietheorie geven & MP2 daar in mengen
3. Frequentie-analyse
   • A) frequentie-analyse op een stationair punt bespreken en de Hessiaan er in gebruiken
   • B) 3 eigenschappen bespreken van het molecule in een bepaalde geometrie die je met een frequentie analyse kan berekenen/bespreken